Cho 2 điểm A (2; 0), B (4; 1) và đường thẳng d: y = x +3. Tồn tại điểm X thuộc đường thẳng d sao cho biểu thức \(\left|XA-XB\right|\) đạt Max. Tìm Max
Xác định tham số của giá trị m trong các trường hợp sau: a) (P): y= x^2+6x-3 và đường thẳng d: y= -2xm-m^2 cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho biểu thức P= 5( xA+xB)-2xA.xB đạt giá trị lớn nhất b) (P): y= x^2-2x-2 và đường thẳng d: y= x+m cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho OA^2+OB^2 đạt GTNN
a.
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(x^2+6x+3=-2mx-m^2\Leftrightarrow x^2+2\left(m+3\right)x+m^2+3=0\)
\(\Delta'=\left(m+3\right)^2-\left(m^2+3\right)=6\left(m+1\right)>0\Rightarrow m>-1\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=-2\left(m+3\right)\\x_Ax_B=m^2+3\end{matrix}\right.\)
\(P=10\left(m+3\right)-2\left(m^2+3\right)=-2m^2+10m+24\)
\(P=-2\left(m-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{73}{2}\le\dfrac{73}{2}\)
\(P_{max}=\dfrac{73}{2}\) khi \(m=\dfrac{5}{2}\)
b.
Pt hoành độ giao điểm:
\(x^2-2x-2=x+m\Leftrightarrow x^2-3x-m-2=0\)
\(\Delta=9+4\left(m+2\right)>0\Rightarrow m>-\dfrac{17}{4}\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=3\\x_Ax_B=-m-2\end{matrix}\right.\)
Đồng thời \(y_A=x_A+m\) ; \(y_B=x_B+m\)
\(P=OA^2+OB^2=x_A^2+y_A^2+x_B^2+y_B^2\)
\(=x_A^2+x_B^2+\left(x_A+m\right)^2+\left(x_B+m\right)^2\)
\(=2\left(x_A^2+x_B^2\right)+2m\left(x_A+x_B\right)+2m^2\)
\(=2\left(x_A+x_B\right)^2-4x_Ax_B+2m\left(x_A+x_B\right)+2m^2\)
\(=18-4\left(-m-2\right)+6m+2m^2\)
\(=2m^2+10m+26=2\left(m+\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{27}{2}\ge\dfrac{27}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(m=-\dfrac{5}{2}\)
cho parabol (P): y=ax^2 (a>0) và đường thẳng (d): y=2x-a^2
a, tìm a để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A;B
b,Gọi Xa; Xb là hoành độ của 2 điểm A và B. tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q=4/(Xa+Xb) + 1/(Xa.Xb)
1/ Cho đường thẳng (d): y=2x+m+1. Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt trục tung và trục hoành tại A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 9 (đvdt).
2/ Cho parabol (P): y=x^2
và đường thẳng (d) có hệ số góc là a khác 0 đi qua điểm M(1;2)
a/ Cm rằng (d) luôn luôn cắt P tại hai điểm phân biệt với mọi a khác 0.
b/ Gọi xA và xB là hoành độ giao điểm của P và d. Chứng minh rằng xA+xB-xA.xB=2.
3/ Cho đường thẳng d: (m+1)x + (m-3)y=1
a/ Chứng minh đường thẳng d luôn đi qua một điểm với mọi m và tìm điểm cố định đó.
b/ Gọi h là khoảng cách từ O đến đường thẳng d. Tìm các giá trị của m để h lớn nhất.
Cho parabol (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = mx – m + 1 (m là tham số)
a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt .
b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho \(\left|x_A-x_B\right|< 3\) .
Biết xA và xB lần lượt là hoành độ giao điểm của hai điểm A, B.
a: Phương trình hoành độ giao điểm là: \(x^2-mx+m-1=0\)
\(\Delta=\left(-m\right)^2-4\cdot\left(m-1\right)=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\)
Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt thì m-2<>0
hay m<>2
b: \(\left|x_A-x_B\right|< 3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}< 3\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2< 9\)
\(\Leftrightarrow m^2-4\left(m-1\right)< 9\)
\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2-3< 0\)
=>(m+1)(m-5)<0
=>-1<m<5
cho (P): y+\(\dfrac{1}{2}x^2\)và đường thẳng (d): y= (m+1)x - \(m^2-\dfrac{1}{2}\). Tìm giá trị của m để (P) cắt (d) tại 2 điểm A(\(x_1;y_1\)) và \(B\left(x_2;y_2\right)\) sao cho biểu thức:
T=\(y_1+y_2-x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)\)đạt GTNN
Giúp mik với ạ mik đang cần gấp
Pt hoành độ giao điểm:
\(\dfrac{1}{2}x^2=\left(m+1\right)x-m^2-\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow x^2-2\left(m+1\right)x+2m^2+1=0\)
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(2m^2+1\right)=-m^2+2m\ge0\)
\(\Rightarrow0\le m\le2\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m^2+1\end{matrix}\right.\)
\(T=y_1+y_2-x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)\)
\(T=\dfrac{1}{2}x_1^2+\dfrac{1}{2}x_2^2-x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)\)
\(=2\left(m+1\right)^2-2\left(2m^2+1\right)-\left(2m+2\right)\)
\(=-2m^2+2m-2\)
\(=-2m^2+2m+4-6=\left(2m+2\right)\left(2-m\right)-6\ge-6\)
\(T_{min}=-6\) khi \(m=2\)
cho parabol (P): \(y=\dfrac{1}{2}x^2\) và đường thẳng d:\(y=\left(m+1\right)x-m^2-\dfrac{1}{2}\) (m là tham số)
tìm các giá trị của m thì đường thẳng d cắt parabol (P) tại 2 điểm \(A\left(x_1;y_1\right)\), \(B\left(x_2;y_2\right)\) sao cho biểu thức \(T=y_1+y_2-x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)\) đạt GTNN
Sửa đề: Sao cho biểu thức T đạt GTLN
Phương trình hoành độ giao điểm là:
\(\dfrac{1}{2}x^2=\left(m+1\right)x-m^2-\dfrac{1}{2}\)
=>\(\dfrac{1}{2}x^2-\left(m+1\right)x+m^2+\dfrac{1}{2}=0\)
=>\(x^2-\left(2m+2\right)x+2m^2+1=0\)
\(\text{Δ}=\left(2m+2\right)^2-4\left(2m^2+1\right)\)
\(=4m^2+8m+4-8m^2-4=-4m^2+8m\)
Để phương trình có hai nghiệm thì Δ>=0
=>\(-4m^2+8m>=0\)
=>\(-4\left(m^2-2m\right)>=0\)
=>\(m^2-2m< =0\)
=>\(m\left(m-2\right)< =0\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m>=0\\m-2< =0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>=0\\m< =2\end{matrix}\right.\)
=>0<=m<=2
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m< =0\\m-2>=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m< =0\\m>=2\end{matrix}\right.\)
=>Loại
\(\dfrac{1}{2}x^2-\left(m+1\right)x+m^2+\dfrac{1}{2}=0\)
\(a=\dfrac{1}{2};b=-\left(m+1\right);c=m^2+\dfrac{1}{2}\)
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{m+1}{\dfrac{1}{2}}=2\left(m+1\right)\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m^2+\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}}=2\left(m^2+\dfrac{1}{2}\right)=2m^2+1\end{matrix}\right.\)
\(T=y_1+y_2-x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}x_1^2+\dfrac{1}{2}x_2^2-2m^2-1-2m-2\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(x_1^2+x_2^2\right)-2m^2-2m-3\)
\(=\dfrac{1}{2}\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]-2m^2-2m-3\)
\(=\dfrac{1}{2}\left[\left(2m+2\right)^2-2\left(2m^2+1\right)\right]-2m^2-2m-3\)
\(=\dfrac{1}{2}\left[4m^2+8m+4-4m^2-2\right]-2m^2-2m-3\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(8m+2\right)-2m^2-2m-3\)
\(=4m+1-2m^2-2m-3=-2m^2+2m-2\)
\(=-2\left(m^2-m+1\right)\)
\(=-2\left(m^2-m+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\right)\)
\(=-2\left[\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right]\)
\(=-2\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{3}{2}< =-\dfrac{3}{2}\)
Dấu '=' xảy ra khi m=1/2
Lời giải:
PT hoành độ giao điểm:
$\frac{1}{2}x^2-(m+1)x+m^2+\frac{1}{2}=0$
$\Leftrightarrow x^2-2(m+1)x+2m^2+1=0(*)$
Để 2 đths cắt nhau tại 2 điểm pb thì pt $(*)$ phải có 2 nghiệm pb
$\Leftrightarrow \Delta'=(m+1)^2-(2m^2+1)>0$
$\Leftrightarrow m(2-m)>0$
$\Leftrightarrow 0< m< 2$
Áp dụng định lý Viet:
$x_1+x_2=2m+2$
$x_1x_2=2m^2+1$
Khi đó:
$T=y_1+y_2-x_1x_2-(x_1+x_2)$
$=\frac{1}{2}(x_1^2+x_2^2)-x_1x_2-(x_1+x_2)$
$=\frac{1}{2}(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-(x_1+x_2)$
$=\frac{1}{2}(2m+2)^2-2(2m^2+1)-(2m+2)$
$=-2m^2+2m-2$
Với điều kiện $0< m< 2$ thì biểu thức này không có min nhé. Bạn xem lại.
Cho parabol (P) y=x2 và đường thẳng (d) y=2x+3-m2.Tìm m để (P) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt A(xA;yA) và B(xB;yB) sao cho T=|xAxB-2(xA+xB)-2| đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó
Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2;2) và các đường thẳng d 1 : x + y - 2 = 0 , d 2 : x + y - 8 = 0 . Biết rằng tồn tại điểm B b 1 ; b 2 thuộc đường thẳng d 1 và điểm C c 1 ; c 2 thuộc đường thẳng d 2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tính giá trị của biểu thức T = b 1 c 2 - b 2 c 1 , biết điểm B có hoành độ không âm.
A. T = -14
B. T = 18
C. T = 11
D. T = 14
Chọn đáp án D.
Cách 2: Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên phép quay tâm A với góc quay
Cho parabol (P) \(y=x^2\) và đường thẳng (d): \(y=mx+4\)
a) Chứng tỏ đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A; B. Gọi x1 ; x2 là hoành độ của A; B. Tìm MAX Q= \(\frac{2.\left(x_1+x_2\right)+7}{\left(x_1\right)^2+\left(x_2\right)^2}\)
b) Tìm m để SOAB= 8